Трапеция — это геометрическая фигура с четырмя углами. При построении трапеции важно учитывать, что две противоположные стороны параллельны, а две другие, наоборот, не параллельны относительно друг друга. Это слово пришло в современность из Древней Греции и звучало как «трапедзион», что означало «столик», «обеденный столик».
Эта статья рассказывает о свойствах трапеции, описанной около окружности. Также мы рассмотрим виды и элементы этой фигуры.
Свойства трапеции
Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?
| Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке и ) |
Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что и – внутренние односторонние углы при параллельных и и секущей . Поэтому . И точно так же и – внутренние односторонние углы при тех же параллельных и , но секущая теперь – .
Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.
Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:
Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.
| Опять и – параллельные, а диагональ – секущая. Поэтому . |
А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:
Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники и – подобны по двум углам. Их коэффициент подобия равен отношению оснований: .
Прямоугольник
Следующим особым четырехугольником является прямоугольник (иногда его сокращенно обозначают как прямоуг-к). Его отличительный признак заключается в том, что все его углы – прямые.
Продемонстрируем несколько прямоугольников:
Очевидно, что у прямоуг-ка противоположные стороны параллельны, ведь они перпендикулярны одной и той же прямой. Следовательно, всякий прямоуг-к одновременно является параллелограммом и обладает всеми его свойствами. Стоит особо отметить, что обратное утверждение неверно – отнюдь не всякий параллелограмм является прямоугольником. Другими словами, прямоугольник – это частный случай параллелограмма, который отличается тем, что его углы составляют 90°.
Из этого вытекает два свойства прямоугольника:
- его противоположные стороны равны;
- точка пересечения его диагоналей является серединой этих самых диагоналей.
Однако есть ещё одно свойство, которое НЕ характерно для остальных параллелограммов.
Доказать это очень просто. Пусть есть прямоугольник АВCD:
Сравним ∆АВD и ∆АСD. Они являются прямоугольными, у них есть общий катет АD, а два других катете, АВ и СD, равны как противоположные стороны прямоугольника. Получается, что рассматриваемые треуг-ники равны, и поэтому равны и их гипотенузы, которые как раз и являются диагоналями прямоугольника.
Оказывается, верна и обратная теорема, которую называют признаком прямоугольника:
Действительно, пусть есть некоторый параллелограмм АВCD, у которого одинаковы диагонали АС и BD.
Противоположные стороны в одном параллелограмме одинаковы:
В итоге все углы АВСD оказываются прямыми, и эта фигура по определению оказывается прямоуг-ком.
Задание. В прямоуг-ке ABCD проведена биссектриса, которая делит сторону СD на отрезки СК и КD длиной 27 и 45 см соответственно. Найдите периметр АВCD.
Решение.Для нахождения периметра необходимо найти длины всех сторон.
Если АК – биссектриса, то
∆КАD является прямоугольным, и мы только что нашли один из его острых углов. Тогда можно найти и 2-ой угол:
Получается, что в ∆АКD два угла равны 45°, значит, он является равнобедренным, и
Мы нашли две смежные стороны прямоугольника, АD и СD. Две другие стороны будут им равны:
Средняя линия трапеции
Для начала – что же такое средняя линия трапеции?
| Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции. |
Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:
| , то есть |
| Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований |
А ещё:
| Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям |
Трапеция, вписанная в окружность.
Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:
| Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая. |
Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!
Подведём итог – он короткий. Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.
Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!
Шраги со штангой за спиной
Техника выполнения: возьмите штангу или гантели в руки. Станьте ровно и выпрямите полностью руки в локтях. Поднимайте руки только усилием трапециевидной мышцы. Затем плавно опускаем назад, чтобы прочувствовать мышцу. Тут разрешается брать большие веса, но учтите, что амплитуда должна быть идеальная. Если вы взяли слишком большой, то просто уменьшите.
В женском исполнении с фото.
Трапеция. Основные понятия и определения
| Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. |
Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
| Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой. |
Свойства трапеции
Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.
Первое свойство трапеции
| Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна . |
Почему? и – параллельны, а и – секущие, поэтому:
Второе свойство трапеции
| Треугольники и подобны по двум углам. ( и – как накрест лежащие) |
Коэффициент подобия треугольников и равен отношению оснований:
Третье свойство трапеции
Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:
| Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. |
А теперь формула:
А вот и само третье свойство трапеции:
| Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. |
А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!
Итак, проведём . Тогда четырехугольник – параллелограмм. Возьмём середину стороны и середину стороны . Оба: и – снова параллелограммы ( и ; и ). Ну вот, значит , да ещё .
Поедем дальше.
| Проведём — среднюю линию в . Знаем, что и |
Что же из всего этого следует?
|
Вот и доказали!
Четвертое свойство трапеции
| Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая. |
Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками: (трапеция же!) (вписанный четырехугольник) . Ну, и так же .
Пятое свойство трапеции
| В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1) – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2) и – середины оснований; 3) – точка пересечения диагоналей. |
Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.
Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:
| Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ. |
Шестое свойство трапеции
| Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. |
Седьмое свойство трапеции
Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.
| В трапеции с перпендикулярными диагоналями |
Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!
Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.
Проведём и .
Обозначим ; .
Тогда:
- – прямоугольный
Значит, (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине). То есть . Но ведь (так как — параллелограмм) .
Тяга штанги к подбородку узким хватом
Возьмите за штангу узким хватом верхом. Станьте прямо. Чем уже вы берете штангу, тем больше нагружаются трапеции. Руки должны быть обязательно выпрямлены в локтях. Начинайте движение вертикально вверх до подбородка. Не спеша возвращайтесь исходное положение. Важно: локти должны быть направлены в стороны.
В женском исполнении с фото.
ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).
|
|
- Средняя линия параллельна основаниям: .
- Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: .
|
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей ( и ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: .
- Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: .
|
Свойства равнобедренной трапеции:
- диагонали равны: ;
- углы при основании равны: ;
- сумма противолежащих углов равна : .
|
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: .
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: .
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
